¿Por qué el factorial de 0 (0!) es igual a 1?

En los comentarios de la popular entrada ¿por qué un número elevado a 0 es igual a 1? me preguntaban también ¿Por qué el factorial de 0 es igual a 1?

En principio la definición de factorial de un número n sería el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta dicho número n. Es decir, el factorial del número cuatro sería:

4!=4*3*2*1=24

¿Entonces por qué el factorial de 0 es 1? Bueno, si nos vamos a la definición anteriormente vista de factorial “producto desde 1 hasta n” nos encontramos con que no tenemos número alguno que multiplicar, esto es lo que se llama un producto vacío y por convención es 1.

Pero también, como con el factorial, podemos argumentar esto más allá de decir “por convención” con una explicación informal:

Empecemos estableciendo una igualdad: el factorial de un número n es el resultado de dicho número multiplicado por el factorial de n-1.

n! = n*(n-1)!

Por lo tanto también podemos decir que el factorial de n-1 es igual al factorial de n divido entre n:

(n-1)!=n!/n

Entonces si forzamos la definición de factorial para meter el cero tendríamos este resultado para poder mantener la coherencia:

0!=(1-1)!=1!/1=1

Otro ejemplo informal. Supongamos que tenemos a cuatro personas y queremos colocarlas en fila. ¿Cuántas combinaciones posibles tenemos? ¿Cuántas formas tenemos de colocarlas? Pues 4!, 24 posibilidades. Ahora ¿si solo fuesen 2 personas? Entonces 2! que es 2, solo tenemos dos formas de ordenar la fila. ¿Una persona? ¿Cuántas formas tenemos de colocar una fila de una persona? Solo una. Entonces ¿cuántas formas tenemos de colocar una fila de 0 personas? Técnicamente no sería una fila porque no habría nadie formándola, pero en todo caso también tenemos solo una forma.

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